【证明：(2n+1)^n>=(2n)^n+(2n-1)^n,其中n为正整数.是不是用二项式定理?】
更新时间：2024-04-28 05:00:31
1人问答
问题描述：
证明：(2n+1)^n>=(2n)^n+(2n-1)^n,其中n为正整数.
是不是用二项式定理?
杜敬利回答：
(2n+1)^n÷(2n)^n=(1/2n+1)^n
P(n,0)*(1/2n)^(n)+P(n,1)*(1/2n)^(n-1)+P(n,2)*(1/2n)^(n-2)+……+P(n,n)*(1/2n)^(n-n)
(2n-1)^n÷(2n)^n=(-1/2n+1)^n
=P(n,0)*(-1/2n)^(n)+P(n,1)*(-1/2n)^(n-1)+P(n,2)*(-1/2n)^(n-2)+……+P(n,n)*(-1/2n)^(n-n)
n为偶数时,
(1/2n+1)^n-(1-1/2n)^n=2P(n,1)*(1/2n)^(n-1)+2P(n,3)*(1/2n)^(n-3)+2P(n,5)*(1/2n)^(n-5)+……
+2P(n,n-1)*(1/2n)^[n-(n-1)]＞1
n为奇数时,
(1/2n+1)^n-(1-1/2n)^n=2P(n,0)*(1/2n)^(n)+2P(n,2)*(1/2n)^(n-2)+2P(n,4)*(1/2n)^(n-4)+……+2P(n,n-1)*(1/2n)^[n-(n-1)]≥1
(1/2n+1)^n-(1-1/2n)^n≥1成立
(2n+1)^n>=(2n)^n+(2n-1)^n成立
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