如图，设椭圆C：（a＞b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且，若过A，Q，F2三点的圆恰好与直线l：相切，过定点M（0，2）
更新时间：2024-04-28 00:10:05
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问题描述：
| 如图，设椭圆C：（a＞b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，过点A与AF2垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且，若过A，Q，F2三点的圆恰好与直线l：相切，过定点M（0，2）的直线l1与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）。 |
| （1）求椭圆C的方程； （2）设直线l1的斜率k>0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由； （3）若实数λ满足，求λ的取值范围。 |
丁守谦回答：
（1）因为
所以F1为F2Q中点
设Q的坐标为（-3c，0），
因为AQ⊥AF2，
所以b2=3c×c=3c2，a2=4c×c=4c2，且过A，Q，F2三点的圆的圆心为F1（-c，0），半径为2c
因为该圆与直线l相切，
所以
解得c=1，
所以a=2，
故所求椭圆方程为。
（2）设l1的方程为y=kx+2（k>0）
由得（3+4k2）x2+16kx+4=0
设G（x1，y1），H（x2，y2），则
所以（x1-m，y1）+（x2-m，y2）
=（x1+x2-2m，y1+y2）
=（x1+x2-2m，k（x1+x2）+4）
（x2-x1，y2-y1）=（x2-x1，k（x2-x1））
由于菱形对角线互相垂直，因此
所以（x2-x1）[（x1+x2）-2m]+k（x2-x1）[k（x1+x2）+4]=0
故（x2-x1）[（x1+x2）-2m+k2（x1+x2）+4k]=0
因为k>0，
所以x2-x1≠0
所以（x1+x2）-2m+k2（x1+x2）+4k=0，
即（1+k2）（x1+x2）+4k-2m=0
所以
解得
即
因为k>0，
所以
故存在满足题意的点P且m的取值范围是。
（3）①当直线l1斜率存在时，
设直线l1方程为y=kx+2，代入椭圆方程
得（3+4k2）x2+16kx+4=0
由△>0，得
设G（x1，y1），H（x2，y2），
则
又，
所以（x1，y1-2）=λ（x2，y2-2）
所以x1=λx2
所以
所以
所以
整理得
因为，
所以，即
所以
解得
又0＜λ＜1，
所以7-4＜λ＜1。
②当直线l1斜率不存在时，直线l1的方程为x=0，
此时，，
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