设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则（ⅰ）：在（a，b）内f′（x）≡0与（ⅱ）：在[a，b]上f（x）≡f（a）之间的关系为（）A．（ⅰ）是（ⅱ）的充分但非必要条件B．（ⅰ）
更新时间：2024-04-27 14:15:09
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问题描述：
设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则（ⅰ）：在（a，b）内f′（x）≡0与（ⅱ）：在[a，b]上f（x）≡f（a）之间的关系为（）
A．（ⅰ）是（ⅱ）的充分但非必要条件
B．（ⅰ）是（ⅱ）的必要但非充分条件
C．（ⅰ）是（ⅱ）的充分必要条件
D．（ⅰ）不是（ⅱ）的充分条件，也不是（ⅱ）的必要条件
万华林回答：
如果在[a，b]上f（x）≡f（a），则在（a，b）内f′（x）≡0，故（ii）⇒（i）．
下面；利用拉格朗日中值定理证明（i）⇒（ii）．
因为f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，
故对于任意a＜x＜b，利用拉格朗日中值定理可得，
f（x）-f（a）=（x-a）f′（ξ），ξ∈（a，x）．
因为在（a，b）内f′（x）≡0，
所以f（x）=f（a），
由x的任意性可得：
f（x）≡f（a），x∈[a，b）．
又因为f（x）在[a，b]上连续，
所以f（b）=limx→b
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