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一道数学题,三角形ABC的外角平分线PB,PC相交于点P,试说明点P也在角BAC的角平分线上HL是哪两条线段?
 更新时间:2024-04-20 15:21:36
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问题描述:

一道数学题,

三角形ABC的外角平分线PB,PC相交于点P,试说明点P也在角BAC的角平分线上

HL是哪两条线段?

孙宝彩回答:
  设AP与BC相交于点Q   延长AB至D使得BD=BQ   延长AC至E使得CE=CQ   ∵PB是ΔABC的外角平分线   ∴∠PBD=∠PBQ   ∵PB=PB(公共),BD=BQ(作图)   ∴ΔPBD≌ΔPBQ   ∴PD=PQ,∠PDB=∠PQB   同理,可得:PE=PQ,∠PEC=∠PQC   ∵∠PQB与∠PQC互补   ∴∠PDB与∠PEC互补   ∴PD=PE,sin∠PDB=sin∠PEC   由正弦定理,可知:   在ΔPAD中,PA/sin∠PDB=PD/sin∠PAB   在ΔPAE中,PA/sin∠PEC=PE/sin∠PAC   ∴sin∠PAB=sin∠PAC   ∵∠BAC是ΔABC的内角,即∠BAC<180°   ∴∠PAB+∠PAC≠180°   ∴∠PAB=∠PAC,即PA是∠A的平分线   得证
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