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初三数学已知方程组{x²-(2k+1)y-4;y=x-2(1)求证:不论k为何值,此方程一定有实数解;(2)设等腰△ABC的三边长分别为a,b,c,其中c=4,且{x=a,y=a-2;{x=b,y=b-2是该方程的两组解,求△AB
 更新时间:2024-04-20 02:30:41
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问题描述:

初三数学

已知方程组{x²-(2k+1)y-4;y=x-2

(1)求证:不论k为何值,此方程一定有实数解;

(2)设等腰△ABC的三边长分别为a,b,c,其中c=4,且{x=a,y=a-2;{x=b,y=b-2是该方程的两组解,求△ABC的周长.

陈慧明回答:
  (1)   证:   x²-(2k+1)y-4=0(1)   y=x-2(2)   (2)代入(1)   x²-(2k+1)(x-2)-4=0   令x=24-0-4=0,等式成立,此时y=x-2=2-2=0   即无论k取何值,方程组恒有x=2y=0   (2)   x=ay=a-2;x=by=b-2分别代入方程x²-(2k+1)y-4=0,整理,得   a²-(2k+1)a+2(2k-1)=0   b²-(2k+1)b+2(2k-1)=0   c为等腰三角形的腰长时,另一腰长同样=4,不妨令a=4   4²-4(2k+1)+2(2k-1)=0   4k=10   k=5/2   由韦达定理得a+b=2k+1   b=(2k+1)-a=5+1-4=2   三角形周长=4+4+2=10   c为等腰三角形的底边长时,a=b,方程判别式=0   [-(2k+1)]²-8(2k-1)=0   4k²-12k+9=0   (2k-3)²=0   k=3/2   由韦达定理得a+b=2k+1=3+1=4   a=b=2a+b=4=c,构不成三角形,舍去.   综上,得三角形周长为10.
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