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【(2010•江北区模拟)在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形,如在矩形ABCD中,当时,称矩形ABCD为黄金矩形ABCD.请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成】
 更新时间:2024-03-29 19:37:48
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问题描述:

(2010•江北区模拟)在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形,如在矩形ABCD中,当时,称矩形ABCD为黄金矩形ABCD.请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成.

陈志立回答:
  如果在黄金矩形ABCD的较长边AB上截取AE=BC,另一边DC上截取DF=BC,连接EF,那么可以证明四边形AEFD是正方形;然后证明矩形BCFE的宽与长的比是黄金分割比即可.   证明:在AB上截取AE=BC,DF=BC,连接EF.   ∵AE=BC,DF=BC,   ∴AE=DF=BC=AD,   又∵∠ADF=90°,   ∴四边形AEFD是正方形.   BE=,   ∴,   ∴矩形BCFE的宽与长的比是黄金分割比,矩形BCFE是黄金矩形.   ∴黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成.
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