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【设椭圆(a>b>0)的离心率,右焦点到直线的距离,O为坐标原点.(I)求椭圆C的方程;(II)过点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C分别交于A,B两点,证明点O到直线AB的距离为定值,并求弦AB长度】
 更新时间:2024-04-19 05:35:58
1人问答
问题描述:

设椭圆(a>b>0)的离心率,右焦点到直线的距离,O为坐标原点.

(I)求椭圆C的方程;

(II)过点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C分别交于A,B两点,证明点O到直线AB的距离为定值,并求弦AB长度的最小值.____

安旭回答:
  【分析】(I)利用离心率求得a和c的关系式,同时利用点到直线的距离求得a,b和c的关系最后联立才求得a和b,则椭圆的方程可得.   (II)设出A,B和直线AB的方程与椭圆方程联立消去y,利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2,利用OA⊥OB推断出x1x2+y1y2=0,   求得m和k的关系式,进而利用点到直线的距离求得O到直线AB的距离为定值,进而利用基本不等式求得OA=OB时AB长度最小,最后根据求得AB的坐标值.   (I)由.   由右焦点到直线的距离为,   得:,   解得.   ∴椭圆C的方程为;   (II)设A(x1,y1),B(x2,y2),   直线AB的方程为y=kx+m,   与椭圆联立消去y得3x2+4(k2x2+2kmx+m2)-12=0,   .   ∵OA⊥OB,   ∴x1x2+y1y2=0,   ∴x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0.   即(k2+1)x1x2+km(x1+x2)=m2=0,   ∴,   整理得7m2=12(k2+1)   ∴O到直线AB的距离为定值   ∵OA⊥OB,   ∴OA2+OB2=AB2≥2OA•OB,   当且仅当OA=OB时取“=”号.   由,   ∴,   即弦AB的长度的最小值是.   【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.考查了学生综合分析问题的能力和基本的运算能力.
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